6- Respuesta de Circuitos RL - RC de Primer Orden

  1. ¿En qué consiste el análisis transitorio de circuitos de primer orden?
  2. ¿Qué es la respuesta natural de un circuito?
  3. ¿Qué es la respuesta al escalón de un circuito?
  4. ¿Cuáles son las técnicas de análisis disponibles?
  5. ¿Cómo es la solución general para las respuestas natural y al escalón?
  6. ¿Qué es la constante de tiempo?
  7. ¿En qué consiste la conmutación secuencial?
  8. ¿Puede la respuesta de un circuito crecer indefinidamente?
  9. ¿Cuál es el propósito del amplificador integrador?
  10. ¿Cómo se obtiene un amplificador diferenciador?

1. ¿En qué consiste el análisis transitorio de circuitos de primer orden?

Antes de definir en qué consiste el análisis transitorio, vamos a aclarar que un circuito con un único elemento de almacenamiento (RL o RC) puede ser modelado por una ecuación diferencial de primer orden, y por ello se lo denomina circuito de primer orden.

Ante un cambio súbito provocado por la apertura o cierre de interruptores, la respuesta (es decir los voltajes o corrientes) de este tipo de circuito atraviesa por un periodo de transición -respuesta transitoria- antes de alcanzar un estado estable -respuesta en estado estacionario-.  El análisis transitorio consiste en describir el comportamiento del circuito en función del tiempo luego de ocurrir dicho cambio y antes de que alcance el estado estacionario.

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2. ¿Qué es la respuesta natural de un circuito?

La respuesta natural de un circuito se obtiene cuando el elemento de almacenamiento comienza a liberar energía en ausencia de fuentes independientes.

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3. ¿Qué es la respuesta al escalón de un circuito?

La respuesta al escalón de un circuito se obtiene cuando a un circuito se le aplica repentinamente una fuente independiente de corriente o voltaje DC.

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4. ¿Cuáles son las técnicas de análisis disponibles?

Vamos a analizar dos métodos.  Ambos permiten obtener el voltaje sobre el capacitor o la corriente sobre el inductor.  Luego, el resultado se puede utilizar para encontrar la o las variables desconocidas del circuito.

Método de la ecuación diferencial

Como su nombre lo indica, consiste en resolver directamente la ecuación diferencial de primer orden que surge al plantear LVK o LCK en cada circuito analizado.

Método paso por paso

Dada la solución general para circuitos de primer orden, consiste en calcular las constantes para el circuito analizado.  Este método es ampliamente utilizado porque no requiere resolver ecuaciones diferenciales, como se muestra en la siguiente pregunta.

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5. ¿Cómo es la solución general para las respuestas natural y al escalón?

El voltaje o corriente en cualquier lugar de un circuito RL o RC se obtiene resolviendo una ecuación diferencial de primer orden.

Recordar que cualquier circuito de primer orden puede reducirse a uno equivalente en la forma de Thévenin o Norton conectado a un único inductor o condensador equivalente, como se muestra a continuación:

Circuitos RL:

cuya solución es:

rl.nb

Circuitos RC:

cuya solución es:

se demuestra entonces, que la expresión de la solución general es:

Observaciones: 

  • Donde la variable desconocida es i(t) (o v(t))para circuitos RL (o RC).  Una vez que se encontró la expresión de i(t) para el inductor, se calcula v(t) como L di(t)/dt.  O cuando se encontró la expresión de v(t) para el capacitor, se calcula i(t) como C dv(t)/dt.
  • Cuando se quiere encontrar la respuesta natural del circuito, el valor final de la variable será cero, entonces:  

  • Si inicialmente, el elemento no tiene energía almacenada, entonces el valor inicial de la variable será cero.  Y la respuesta al escalón será:

  • Generalmente, el tiempo de conmutación es cero.

rc.nb

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6. ¿Qué es la constante de tiempo?

La constante de tiempo, t, es un parámetro muy importante en este tipo de circuitos y se expresa en unidades de tiempo.  En un circuito RL, t=L/RTh, y en un circuito RC, t=RThC, donde RTh es la resistencia equivalente de Thévenin vista desde las terminales del elemento de almacenamiento.

Observaciones:

  • La pendiente inicial de la respuesta natural del circuito intersecta al eje temporal en t=t.  Esta es un manera práctica de obtener la constante de tiempo de un circuito de primer orden a partir de la representación de su respuesta natural.  Por ejemplo:

  • Una constante de tiempo después de que el elemento ha comenzado a liberar energía, la respuesta se ha reducido a 0.37 de su valor inicial (reemplazando t=t se obtiene que i(t)=i(0).e-1 en el circuito RL o que v(t)=v(0).e-1 en el circuito RC).
  • Cuando t=5t , la respuesta se ha reducido a 0.0067 de su valor original (menos del 1%).  Entonces para fines prácticos, se dice que el circuito ha alcanzado un estado estable luego de transcurrido 5t desde el momento de la conmutación.
  • Si la constante de tiempo es pequeña, la respuesta natural del circuito es rápida, es decir alcanza rápidamente su valor de estado estable.

velrta.nb

  • Para t=la pendiente inicial de la respuesta al escalón del circuito alcanza el valor de la respuesta estable del circuito.

  • Una constante de tiempo después de la conmutación, la respuesta habrá llegado a aproximadamente el 63% de su valor final (reemplazando t=t se obtiene que i(t)=if.(1-e-1) en el circuito RL o que v(t)=vf.(1-e-1) en el circuito RC ).
  • Cuando t=5t , la respuesta habrá llegado a más del 99% de su valor final.  Entonces para fines prácticos, se dice que el circuito ha alcanzado un estado estable luego de transcurrido 5t desde el momento de la conmutación.
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7. ¿En qué consiste la conmutación secuencial?

La conmutación secuencial ocurre cuando un mismo interruptor se conmuta más de una vez, o cuando existen en el circuito varios interruptores que se manipulan en forma secuencial.  Este caso se resuelve aplicando la solución general pero tomando en cuenta que ahora el tiempo de conmutación va a tomar distintos valores (antes siempre se lo consideraba cero).

Ejemplo 1:

En el siguiente circuito, en t=0 se cierra el interruptor 1 (el 2 se encuentra abierto y el 3 cerrado).  Luego, en t=3seg se cierra el interruptor 2 y se abre el 3.  Finalmente, los interruptores permanecen en dichas posiciones sin volver a conmutar.

 

La técnica de resolución consiste en subdividir el problema en varios más sencillos.  Por ejemplo, en el circuito considerado, el problema se subdivide en dos: uno para 0£t£3seg y otro para t³3seg.

Para 0£t £3seg: encontramos el valor del voltaje inicial (=0V para t<0), el valor del voltaje final (=5V,  si los interruptores permanecieran indefinidamente en las posiciones adquiridas para t=0) y la constante de tiempo (=1,5Meg*1uF=1,5seg).  Con estos parámetros se obtiene la expresión del voltaje.

Para t³3seg: se calcula el nuevo valor inicial del voltaje (reemplazando t=3seg en la expresión obtenida para 0£t £3seg), el nuevo valor final (=0V), la nueva constante de tiempo (=0,5Meg*1uF=0.5seg) y empleando la solución general se obtiene la respuesta del circuito para t³3seg (sin olvidar que tiempo de conmutación ahora vale 3seg).

El voltaje en el condensador resulta:

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8. ¿Puede la respuesta de un circuito crecer indefinidamente?

La respuesta de un circuito puede crecer exponencialmente en lugar de disminuir, en cuyo caso se la denomina respuesta ilimitada.  Esta respuesta tiene lugar cuando existen fuentes dependientes en el circuito.

En este tipo de circuitos, la resistencia equivalente de Thévenin entre los terminales del elemento almacenador de energía puede ser negativa.  Esto ocasiona un exponente positivo en la solución general y consecuentemente la corriente y el voltaje crecen en teoría indefinidamente. En la práctica el crecimiento alcanza un límite cuando algún componente se satura o avería.

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9. ¿Cuál es propósito del amplificador integrador?

El propósito del circuito amplificador integrador es generar un voltaje de salida proporcional a la integral del voltaje de entrada.

Ejemplo 2:

Al analizar el circuito, considerando que el AO es ideal, se obtiene que:

vo(t0) es el voltaje inicial en el capacitor de realimentación (Cf)

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10. ¿Cómo se obtiene un amplificador diferenciador?

En el circuito anterior, intercambiar la resistencia de entrada y el capacitor de realimentación.  Así:

Observación:

  • También se pueden diseñar amplificadores integradores y diferenciadores empleando inductores en lugar de capacitores, pero como es más sencillo conseguir capacitores que inductores, estos diseños prácticamente no se emplean.
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Teoría de Circuitos I - Última modificación: Mayo 28, 2002