7- Respuesta de Circuitos RLC

1. ¿En qué consiste el análisis transitorio de circuitos de segundo orden?
2. ¿Cómo se obtiene la respuesta de un circuito RLC paralelo?
3. ¿Cómo se obtiene la respuesta de un circuito RLC serie?
4. ¿A qué hacen referencia los términos sobreamortiguado, subamortiguado y críticamente amortiguado?
5. Definiciones de las especificaciones de la respuesta transitoria

1. ¿En qué consiste el análisis transitorio de circuitos de segundo orden?

Consiste en describir el comportamiento en función del tiempo de circuitos con dos elementos de almacenamiento.  Nos vamos a limitar a analizar circuitos RLC paralelo y serie.

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2. ¿Cómo se obtiene la respuesta de un circuito RLC paralelo?

Aplicando LCK, obtenemos:

Para resolver esta ecuación, primero se supone que la expresión del voltaje es de tipo exponencial: v(t)=Ae^st .  Reemplazando y sacando factor común, se obtiene:

La última ecuación se denomina ecuación característica del circuito paralelo.  Si s₁ y s₂ son raíces de la ecuación característica...

donde:

... entonces, la solución de la ecuación que modela al circuito depende de las raíces de la ecuación característica.

Las tres soluciones posibles son:

SI...	RAÍCES	RESPUESTA	v(t)
	reales y distintas	sobreamortiguada
	complejas conjugadas	subamortiguada
	reales iguales	críticamente amortiguadas

Las constantes (A₁,A₂,B₁,B₂,...) se determinan empleando las condiciones iniciales.

Una vez determinado el voltaje, se pueden obtener fácilmente las corrientes sobre los distintos elementos.

Si directamente se quiere calcular i_L(t), se pueden utilizar las siguientes expresiones:

RESPUESTA	iL(t)
Sobreamortiguada
Subamortiguada
Críticamente amortiguada

Donde if es el valor final de la corriente sobre el inductor.  Las constantes (A'₁,A'₂,B'₁,B'₂,...) se determinan empleando las condiciones de borde.

Ejemplo: 

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3. ¿Cómo se obtiene la respuesta de un circuito RLC serie?

Aplicando LVK, obtenemos:

seguimos el mismo procedimiento que para el circuito RLC paralelo, y obtenemos la ecuación característica para el circuito serie.   Si s₁ y s₂ son raíces de la ecuación característica...

donde, ahora:

... entonces, al igual que en el caso del circuito paralelo, la solución de la ecuación que modela al circuito serie depende de las raíces de la ecuación característica.

Las tres soluciones posibles son:

SI...	RAÍCES	RESPUESTA	i(t)
	reales y distintas	Sobreamortiguada
	complejas conjugadas	Subamortiguada
	reales iguales	Críticamente amortiguada

Las constantes (A₁,A₂,B₁,B₂,...) se determinan empleando las condiciones de borde.

Una vez determinada la corriente, se pueden obtener fácilmente los voltajes sobre los distintos elementos.

Si directamente se quiere calcular v_c(t), se pueden utilizar las siguientes expresiones:

RESPUESTA	vC(t)
Sobreamortiguada
Subamortiguada
Críticamente amortiguada

Donde vf es el valor final del voltaje en el capacitor.  Las constantes (A'₁,A'₂,B'₁,B'₂,...) se determinan empleando las condiciones de borde.

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4. ¿A qué hacen referencia los términos sobreamortiguado, subamortiguado y críticamente amortiguado?

Los términos describen el impacto del elemento disipador (R) sobre la respuesta a través del análisis de la frecuencia neper en comparación con la frecuencia resonante.  Así, existen tres tipos de amortiguamiento:

• Sobreamortiguado: si a>w entonces el voltaje o la corriente se aproximan a su valor final sin oscilación.  A medida que a aumenta, la rta tarda más en llegar a su valor final.

• Subamortiguado: si a<w entonces el voltaje o la corriente oscilan alrededor del valor final antes de llegar al estado estacionario.  La oscilación es más persistente a medida que a disminuye.

• Críticamente amortiguado: a=w es el caso límite entre los dos anteriores.

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5. Definiciones de las especificaciones de la respuesta transitoria

Muchos sistemas físicos son de segundo orden (o pueden ser aproximados a ellos).  En la práctica, se puede desear que un sistema se comporte de determinada manera ante una entrada escalón unitario.  A continuación, examinaremos la terminología necesaria para poder especificar el comportamiento temporal.

• Tiempo de retardo (t_delay): tiempo requerido para que la respuesta alcance por primera vez la mitad del valor final.

• Tiempo de crecimiento (t_rising): tiempo requerido para que la respuesta pase del 0% al 100% de su valor final (o del 5% al 95% o del 10% al 90%).  Generalmente el tiempo de 0% a 100% se emplea para sistemas subamortiguados y el de 10% al 90% para sistemas sobreamortiguados.

• Tiempo pico (t_peak): tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso.

• % Sobrepaso máximo (%Mp): se define como [rta(tp)/rta(¥)-1]*100

• Tiempo de asentamiento (t_setting): tiempo requerido para que la respuesta alcance y permanezca dentro de un rango especificado por un porcentaje del valor final (2% o 5%).

Observación:

• En la asignatura "Control I" se analizarán las acciones básicas de control para poder alcanzar las especificaciones de la respuesta temporal de un sistema.

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Teoría de Circuitos I - Última modificación: Mayo 28, 2002