12- Circuitos Acoplados Magnéticamente
- Inductancia mutua
- Análisis de circuitos con bobinas acopladas magnéticamente
- Convención de punto
- Modelo equivalente T
- Transformador lineal
- Transformador ideal
- Autotransformador
1. Inductancia mutua
Hasta ahora, cuando analizamos circuitos con más de una bobina, consideramos que las mismas no estaban acopladas (es decir, el flujo de cada bobina no llegaba hasta las demás). Consideremos ahora las siguientes bobinas acopladas magnéticamente:
L1 y L2 representan la autoinductancia o inductancia propia de cada bobina, mientra que M representa la inductancia mutua, el cual es un parámetro que relaciona el voltaje inducido en un circuito con la corriente variable en el tiempo de otro circuito.
Se define como:
donde k se conoce como el coeficiente de acoplamiento y es una medida del grado en el que el flujo producido por una bobina enlaza a la otra (0 £ k £ 1). Si las bobinas no están acopladas, entonces k=0.
La principal aplicación de la inductancia mutua en los circuitos eléctricos se encuentra en los transformadores.
2. Análisis de circuitos con bobinas acopladas magnéticamente
Dado un circuito con un par de bobinas acopladas magnéticamente, y siguiendo la convención de signo pasivo, se asignan las corrientes y voltajes como se observa en la figura:
De esta manera, resulta que el voltaje inducido v1(t) (o simplificando la nomenclatura: v1) está formado por el generado por la inductancia L1 y el producido por la inductancia mutua M. Igualmente, el voltaje inducido v2 está formado por el generado por la inductancia L2 y el producido por la inductancia mutua M.
Si sólo interesa la solución en estado estacionario, aplicando la Transformada Fasorial el sistema de ecuaciones se convierte en:
El signo del segundo término es positivo cuando los flujos se suman:
y negativo si se restan:
Para simplificar este tipo de análisis se emplea la convención de punto.
La convención de punto nos permite esquematizar el circuito sin tener que preocuparnos por el sentido de los arrollamientos. Dada más de una bobina, se coloca un punto en algún terminal de cada una, de manera tal que si entran corrientes en ambas terminales con puntos (o salen), los flujos producidos por ambas corrientes se sumarán.
Siguiendo esta convención, las bobinas acopladas presentadas previamente pueden esquematizarse de la siguiente manera:
Regla general: si ambas corrientes entran (o salen) de los puntos, el signo del voltaje mutuo será el mismo que el del voltaje autoinducido. En otro caso, los signos serán opuestos.
Ejemplo 1:
Si v(t)=14.14 cos(100 pi + 20°), encontrar V2(rms) , I2(rms) y la potencia media consumida en la carga:
En la representación fasorial:
Según los sentidos elegidos para las corrientes, I1 entra a un punto e I2 sale del otro, por lo tanto el signo del voltaje mutuo será el opuesto al del voltaje autoinducido:
En Mathematica:
Nota: la manera más rápida de obtener los valores eficaces solicitados consiste en trabajar directamente con el voltaje eficaz de la fuente
En PSpice:
Notas:
-
en PSpice siempre el terminal de entrada de la bobina es el terminal con punto
-
al igual que en Mathematica, en la fuente se ingresa como magnitud el valor rms para obtener directamente los valores rms de V2 e I2
-
la fase de Vac es la misma de v(t). Como no se realiza un análisis transitorio del circuito, no es necesario tener en cuenta que aunque v(t) es una función cosenoidal, Vac es una fuente senoidal.
En el archivo .out se obtiene la siguiente información:
FREQ
IM(V_PRINT4) IP(V_PRINT4)
5.000E+01
1.282E-02
1.034E+02
.....
FREQ
VM(V2)
VP(V2)
5.000E+01 3.080E+00
7.970E+01
que coincide con los resultados obtenidos en Mathematica.
En cuanto a la potencia media en la carga:
P= 0.01282*3.08*cos(79.7-103.4)=36.2 [mW]
Este valor también se puede obtener gráficamente en PSpice AD si se ingresa la siguiente expresión:
V(V2)* I(R2)* COS((P(V(V2))-P(I(R2)))*pi/180)
Ejemplo 2:
Si v(t)=14.14 cos(100 pi + 20°), encontrar V2(rms) e I2(rms):
Según los sentidos elegidos para las corrientes, I1 entra a un punto e I2 entra en el otro, por lo tanto el signo del voltaje mutuo será el mismo al del voltaje autoinducido:
En Mathematica:
En PSpice:
Ejemplo2En el archivo .out se obtiene la siguiente información:
FREQ
IM(V_PRINT4)
IP(V_PRINT4)
5.000E+01
1.282E-02
-7.662E+01
.....
FREQ
VM(V2)
VP(V2)
5.000E+01
3.080E+00
-1.003E+02
que coincide con los resultados obtenidos en Mathematica.
Un par de bobinas acopladas magnéticamente también pueden ser modelas a partir de 3 bobinas sin acoplamiento magnético:
Demostración a partir de la comparación de los sistemas de ecuaciones que surgen de aplicar mallas a ambos circuitos:
Como se mencionó al inicio, la principal aplicación de la inductancia mutua en los circuitos eléctricos se encuentra en los transformadores.
A continuación vamos a analizar dos modelos de transformadores: el lineal y el ideal.
Un transformador puede ser o no lineal. Se dice que es lineal cuando existe una relación lineal entre el flujo magnético y las corrientes en las bobinas. Esto ocurre cuando las bobinas no se devanan sobre núcleos magnéticos. Ejemplo: transformador con núcleo de aire.
El siguiente modelo permite analizar el comportamiento de un transformador lineal:
donde:
R1+jwL1 = impedancia del primario = Z1
R2+jwL2 = impedancia del secundario = Z2
Ahora analicemos un circuito básico, donde el transformador acopla una fuente sinusoidal Vs(t) (con impedancia interna Zs) con una carga ZL:
Planteando mallas:
donde, para simplificar:
Del sistema de ecuaciones surge la impedancia vista por la fuente ideal:
Quiere decir que el circuito puede reemplazarse por:
donde Zr se conoce como la impedancia del secundario reflejada en el primario, o simplemente impedancia reflejada. Como la inductancia mutua aparece elevada al cuadrado, nótese que Zr es independiente de la polaridad magnética del transformador.
Desarrollando el término Z22, Zr puede expresarse de otra manera:
donde la reactancia de la carga, XLoad , lleva su propio signo (positivo si la carga es inductiva y negativo si es capacitiva).
Si no estuviera presente el transformador, la fuente real vería solamente la impedancia de carga. El resultado anterior nos indica la manera en que el transformador afecta al circuito. Ahora, la fuente real ve la conjudada de la impedancia total del secundario afectado por un factor de escala.
Un transformador de N1 espiras en el primario y N2 espiras en el secundario, se considera ideal si verifica las siguientes condiciones:
- k = 1
- L1 = L2 = ¥
- R1 = R2 = 0 (pérdidas insignificantes en los devanados)
En la práctica, el comportamiento de un transformador con núcleo ferromagnético se aproxima bastante al de un transformador ideal.
En este tipo de transformadores se puede demostrar que:
siempre y cuando los voltajes V1 y V2 sean ambos positivos o negativos en las terminales con punto, caso contrario N2/N1 = - V2/V1
N2/N1 se conoce como razón de transformación de un transformador ideal.
Además también se cumple que:
siempre y cuando ambas corrientes I1 e I2 entren o salgan de las terminales con punto, caso contrario N2/N1 = I1/I2
Ejemplo:
Observación:
- En los transformadores de núcleo ferromagnético debe tenerse en cuenta los efectos de la frecuencia. Según se trabaje en baja, media o alta frecuencia, el modelo del transformador cambia para tener en cuenta los parámetros de mayor peso correspondiente a cada rango de f (mayores detalles en Boylestad - sección 25.7).
Este tipo de transformador emplea un devanado común para la entrada y salida del circuito:
Desventaja: no existe aislamiento entre primario y secundario.
Ventaja: menor tamaño, peso y costo para determinada potencia que su equivalente común.
Se puede obtener un autotransformador si se conectan en serie los devanados de un transformador común.
Teoría de Circuitos I - Última modificación: Mayo 28, 2002