14- Transformada de Laplace

  1. ¿Por qué se emplea la Transformada de Laplace en el análisis de circuitos?
  2. Propiedades y pares de transformadas
  3. ¿Cómo se modelan los elementos en el dominio s?
  4. ¿Cómo se analizan los circuitos en el dominio s?
  5. Teoremas de valor inicial y final

1. ¿Por qué se emplea la Transformada de Laplace en el análisis de circuitos?

Así como la Transformada Fasorial nos permitía obtener la respuesta en estado estacionario a través de cierta manipulación algebraica (sin tener que trabajar con las ecuaciones integrodiferenciales), la Transformada de Laplace nos permitirá obtener la respuesta completa (transitorio + ee) del circuito.

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2. Propiedades y pares de transformadas

Como se vio en la asignatura "Análisis Matemático III", la transformada de Laplace se define como la regla L[f(t)]=F(s), donde:

Asimismo, se define la transformada inversa de Laplace como L-1[F(s)]=f(t)

Al conjunto f(t) y F(s) se lo conoce como pareja o par de la transformada de Laplace.

Propiedades

Pares de transformadas

Los libros de textos traen distintas tablas de pares de transformadas que evitan tener que realizar tediosos cálculos.  Por ejemplo:

En un apéndice del libro "Transformada de Laplace" del autor Murray Spiegel (edit. McGraw Hill), se puede encontrar una tabla con más de 100 pares de transformadas.

Hoy día, el software simplifica aún más la resolución de las transformadas.

Ejemplo en Mathematica:

Si f(t)=2+t, encontrar F(s) y luego aplicar la transformada inversa de Laplace.

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3. ¿Cómo se modelan los elementos en el dominio s?

Resistor

En el dominio del tiempo v(t)=R i(t), o simplificando la nomenclatura:

v = R i

La Transformada de Laplace implica V(s)=R I(s), o simplificando la nomenclatura:

V = R I

Capacitor

En el dominio temporal:

i = C dv/dt

al aplicar la transformada, la ecuación se convierte en:

I = C [sV - v(0-)] = sCV - CVo

Si despejamos V:

V = (1/sC) I + Vo/s

Inductor

En el dominio temporal:

v = L di/dt

al aplicar la transformada, la ecuación se convierte en:

V = L [sI - i(0-)] = sLI - LIo

Si despejamos I:

I = V/sL + Io/s

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4. ¿Cómo se analizan los circuitos en el dominio s?

Luego de transformar el circuito al dominio s, se procede como de costumbre porque la Ley de Ohm y las Leyes de Kirchhoff siguen siendo válidas en dicho dominio.

Ejemplo:

Resolución del ejercicio n° 6 del trabajo práctico n° 14

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5. Teoremas de valor inicial y final

Estos teoremas nos permiten determinar los valores inicial y final de una función temporal a partir de la transformada de Laplace.

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Teoría de Circuitos I - Última modificación: Mayo 28, 2002