Ejemplo 1 desarrollado en Mathematica

Datos:

L = 0.1; i = 10  t*(E^(-5 t)); 
    Plot[i, {t, 0, 1}, 
      AxesLabel  ->  { "Tiempo[t]", "Corriente[A]"}];

Cálculo de v(t)

v = L*D[i, t]

\(\(Plot[v, {t, 0, 1}, PlotRange -> {\(-0.3\), 1.2}, 
        AxesLabel\  -> \ {\ "Tiempo[t]", "Tensión[V]"}];\)\)

Aparentemente v(t) cambia de polaridad en t=0.2 seg.  Comprobación:

FindRoot[v == 0, {t, 0}]

Cálculo de p(t)

p = i*v

Plot[p, {t, 0, 1}, 
        AxesLabel  ->  { "Tiempo[t]", "Potencia[W]"}];

En este ejemplo la corriente es siempre positiva, pero el voltaje cambia su polaridad en t=0.2seg.  En ese instante la potencia cambia de signo (porque p(t)=i(t)*v(t)). Recordar que cuando la potencia es positiva el inductor almacena energía y cuando es negativa, el inductor devuelve la energía al circuito.

Cálculo de w(t)

El inductor almacena energía durante el intervalo de tiempo 0<t<0.2seg.  La integración de la potencia en este intervalo representa entonces la energía almacenada.

(∫_0^0.2) p \[DifferentialD]t

Show[p1, p2];

Es decir que la energía almacenada es igual a 27.07 mJ.  Este valor corresponde también a la energía devuelta al circuito por el inductor durante el intervalo 0.2<t<∞. Comprobación:

(∫_0.2^∞) p \[DifferentialD]t

Show[p1, p2];

Alternativa:

w = (1/2)*L*(i^2)

\(\(Plot[w, {t, 0, 1}, 
        AxesLabel\  -> \ {\ "Tiempo[t]", "Energía[J]"}];\)\)

Se puede derivar la expresión de w(t), igualarla a cero y despejar t, para luego reemplazar el valor obtenido en w(t).  Otra manera: la energía es máxima cuando i(t) es máxima.  La corriente es máxima cuando su derivada es nula, es decir cuando el voltaje es nulo (y por lo tanto también es nula la potencia).  Ya vimos que v(t)=p(t)=0 en t=200mseg.  Reemplazando este valor en la expresión de w(t):

w /. t -> 0.2